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外獨會意見交流

 

數大便是苦差事之無窮級數

發言人:999-純銅, on Dec/09/2018    05:39:42 (IP code: X.X.242.146)
 話說
1+2+3+4+5+...... 這個級數是很有趣的 但答案不會是-1/12

首先考慮級數
1+3+5+7+9+....+(2n-1) 共有n項 級數和是n^2
1+2+3+4+5+....+n 也是有n項 級數和是 (n^2 - n)/2

定義數列a(n)=[1+3+5+7+9+...+(2n-1)]/(1+2+3+4+5+.....n)
由上面式子 可知
a(n)=2*[n^2/(n^2 - n)]
可知當n無窮大時 a(n)會收斂到2

也就是說 1+3+5+7+9+..... 會趨近於2倍的1+2+3+4+5+......

另一方面 2+4+6+8+10+.... 是兩倍的1+2+3+4+5+.....

最後 (1+3+5+7+9+....) + (2+4+6+8+10+...) 會趨近於4倍的1+2+3+4+5+......
而不是等於1+2+3+4+5+.....

然後我腦神經打結了 會推翻掉當年相信的好多東西
 

Record ID: 1544305182   From: 台灣

回信 發言人:999-純銅更正, on Dec/09/2018    05:43:49 (IP code: X.X.242.146)
 1+2+3+4+5+...+n = (n^2 + n)/2 

Record ID: 1544305182R001   From: 台灣

回信 發言人:迷圓周率, on Dec/09/2018    10:10:18 (IP code: X.X.113.95)
 無限大與無限大之間,不能用等號(* =)。 

Record ID: 1544305182R002   From: 台灣

回信 發言人:999-純銅, on Dec/09/2018    11:23:48 (IP code: X.X.242.146)
 無窮大不是一個數 而是一種領域

不管怎麼算到第幾項 2+4+6+8+.....
就是 兩倍的算到同樣項數的級數 1+2+3+4+5+....之和

因為正整數相加一定是正整數

如果1+2+3+4+5+... 如果可以等於 (1+3+5+7+9+....)+2*(1+2+3+4+5+...)
就會會變成 (1+3+5+7+9+....) = -(1+2+3+4+5+....)

但是
1+3+5+7+9+......
=1+2+3+4+5+6+...
+1+2+3+4+5+....

結局就是 2*(1+2+3+4+5+....) = -(1+2+3+4+5+...) 產生矛盾

所以1+2+3+4+5+....會=-1/12 就是錯在
(1+3+5+7+9+..) + (2+4+6+8+...) = (1+2+3+4+5....) 這個不合法等式上

因為
(1+3+5+7+9+....) + (2+4+6+8+10+....) = (3+7+11+15+19+......)

當然 1^k + 2^k + 3^k + 4^k +.....
與 1^k + 3^k + 5^k + 7^k +.....
這兩個無窮級數的極限比值a(k) 在 k 趨近無限大時會等於 1 嗎?還是說會發散?








 

Record ID: 1544305182R003   From: 台灣

本篇到此告一段落———版主

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