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外獨會意見交流

 

單位圓上的內接正七邊形

發言人:999-純銅, on Apr/14/2019    05:11:10 (IP code: X.X.110.151)
 廢話不多說
方程式 Z^7 = 1
除了1 這個無聊解之外 另外六個解要怎麼求呢?

首先Z^7 -1 = (Z-1)*(Z^6 + Z^5 + Z^4 + Z^3 + Z^2 + Z + 1) = 0
這方程式 是一元六次方程式
如果令
A = Z + Z^6
B = Z^2 + Z^5
C = Z^3 + Z^4
那麼很顯然 A+B+C = -1

A*B = Z^3 + Z^6 + Z + Z^4 = A + C = -(1+B)
A*C = Z^4 + Z^5 + Z^2 + Z^3 = B + C = -(1+A)
B*C = Z^5 + Z^6 + Z + Z^2 = A + B = -(1+C)
所以
A*B + A*C + B*C = -2

而(A*B*C)^2
= (A*B)*(A*C)*(B*C)
=-[1+(A+B+C)+(A*B+A*C+B*C)+(A*B*C)]
=-[-2 + (A*B*C)]
剛好是一個以 (A*B*C)為未知數的一元二次方程式

解出(A*B*C)後

傳說中的一元三次方程式又出現了!! 又再次跨丟鬼!
解出三個根其中一根 然後由 Z + Z^6 = Z + 1/Z 就可以解出 Z
然後收工!

 

Record ID: 1555189870   From: 台灣

回信 發言人:999-純銅, on Apr/14/2019    08:11:20 (IP code: X.X.110.151)
 不過話說來 其實不用繞這麼大圈

如果令Z=cos(s) + i*sin(s) 其中s=(2pi)/7

那麼 方程式 Z^6 + Z^5 + Z^4 + Z^3 + Z^2 + Z + 1 = 0
會變成
2[cos(s) + cos(2s) + cos(3s)] = -1
然後三倍角公式 兩倍角公式 用下去 就可以得到 一個以cos(s)為未知數的一元三次方程

解出一個解 剩下5個解就可以輕鬆解決了!
 

Record ID: 1555189870R001   From: 台灣

本篇到此告一段落———版主

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