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外獨會意見交流

 

有趣的隱函數

發言人:999-純銅, on May/22/2019    11:14:12 (IP code: X.X.139.15)
 話說 在國中時代 所接觸的單變量函數 都寫成 y = f(x)
畫在歐氏平面上的圖 就已經千奇百怪罄計算紙也畫不完!!

當然 隱函數 從圓 與 圓錐曲線 初見時 就已經存在了
到大一時 心臟線 玫瑰線 n葉線... 的出現更是令人頭痛!

不過今天不談上這些 書本都找的到材料

有一個隱函數 √[a*(X^2)+b*(Y^2)] + √[c*(X^2)+d*(Y^2)] = 1
但 我們想知道這函數在歐氏平面上的圖 是長什麼樣子 該如何出發呢?

當然通過移項 方程式兩邊平方 再移項 然後再平方
然後解未知數為Y的方程式 可解出Y^2=f(X^2) 不過這方法很無腦且平凡!!


p = a*(X^2) + b*(Y^2)
q = c*(X^2) + d*(Y^2)

其中a b c d 都是有理數!

那麼從 √p + √q = 1 出發
方程式兩邊同時平方並移項後可得 2*√(p*q) = (1-p-q)
再次方程式兩邊同時平方後得到
4*(p*q) = (1-p-q)^2

然後變一下方程式左邊變成
(p+q)^2 - (p-q)^2 = (1-p-q)^2
方程式兩邊同除以(1-p-q)^2 後可得到
[(p+q)/(1-p-q)]^2 + [(p-q)/(1-p-q)]^2 = 1


(p+q) = (1-p-q)*cos(€)
(p-q) = (1-p-q)*sin(€)

可知
(p+q) = cos(€)/[1+cos(€)]
(p-q) = sin(€) - [sin(€)*cos(€)]/[1+cos(€)]


(p+q) = (a+c)*(X^2) + (b+d)*(Y^2)
(p-q) = (a-c)*(X^2) + (b-d)*(Y^2)

於是可以解得
X^2 = f(€)
Y^2 = g(€)

所以我們得到一條以€為參數的曲線座標"場" [f(€),g(€)]
那麼 我們就可以只從代數方法 求得這條曲線上 65537*65535*(2^N)個點的座標值!!

至於要求這條曲線上的有理數點 則又是另外一個層面的問題了!












 

Record ID: 1558494852   From: 台灣

回信 發言人:風玲, on May/22/2019    12:38:16 (IP code: X.X.253.175)
 雖然鴨子聽打雷,還是加減看 

Record ID: 1558494852R001   From: 台灣

本篇到此告一段落———版主

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